3D Rigid Body Motion

Rigid Body

(강체 ; 물리학에서 형태가 고정되어 변하지 않는 물체)

 

> Position = { tx, ty, tz }

> Orientation = { Rx, Ry, Rz }

> Pose = Orientation + Position

>  6 Degrees of Freedom = 3D Orientation + 3D Position = { tx, ty, tz, Rx, Ry, Rz }

 

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Coordinate transformation ( Camera -> World )

카메라 좌표계 { tx, ty, tz, Rx, Ry, Rz}를 어떻게 월드 좌표계 {?, ?, ?, ?, ?, ?, ?}로 바꿀 수 있을까?

 

Orientation{Rx, Ry, Rz}: Rotation(회전값) 이용 

Position{tx, ty, tz} : Translation(이동값) 이용

 

Coordinate transform을 하기 위해서는 2개의 coordinate system 간의 이동이 필요합니다.

 

이걸 Rigid body motion 이라고 합니다.

 

3D -> 3D transformation (Rigid body motion)

: Euclidean transformation

• Euclidean world -> Euclidean world
• Cartesian coodinate -> Cartesian coodinate

 

 

coordinate source : https://www.cours-et-exercices.com/2016/01/modelisation-cinematique-des-liaisons.html

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Rotation(회전) 표현법

•Euler Angle

    -장점: 이해하기 쉬움.

    -단점: 최적화가 어려움, gimblock (Singularity problem)

•Axis-angle

    (= Angle-axis, Rotation vector, Rodrigues angle, ...)

    - Rotation axis -> e

    - Rotation angle -> theta

    - Rotation vector = e * theta

    - Axis-angle <-> Rotation matrix

        • Rodrigues formula(Axis-angle로부터 Rotation matrix 변환식)

 

•Quaternion

 

3차원 좌표로 나타내면 Singularity problem이 발생

문제가 발생하지 않은 최소 차원인 4차원으로 표현하자는 아이디어.

4개의 파라미터로 3D 세상을 singularity 없이 표현할 수 있게 되었습니다.

즉 gimblock 문제가 없고, 미분이 가능합니다.

하지만 쿼터니안 값만 보고는 어디를 위치하는지 이해하기 어렵다는 단점이 있습니다.

 

 

•SO(3) Rotation matrix

(Special Orthogonal Matrix (3D) - SO(3)

 

 

    -회전만 시켜주는 matrix

    -회전만 시켜주는 matrix는 회전 후에도 기존 x, y, z축이 수직(Orthogonality)을 유지한다는 특성이 있습니다.

    -이 matrix의 Determinant 1이 되어야 합니다.

    - SO(3) * SO(3) transpose = Identity Matrix

   -최적화하기 위해 SO(3)matrix를 바로 사용하기에는 어렵다고 합니다.  미분하면 jacobian matrix가 나오는데 이걸 가지고 iteration      을 했었을 때 그 결과가 SO(3)와 동일한 성질을 가질지는 몰라 어렵기도 합니다.

   - 미분 가능 형태는 Log map / Exponential map을 통한 Lie algebra 방법이 있습니다. 

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Translation(이동) 표현법

회전표현법과 다르게 단순히 벡터로 표현하면 됩니다. (단, 단위(mm, m, cm, ...) 를 맞춰야 합니다.)

 

 

• SE(3) Transformation matrix

(Special Euclidean Group (3D))

 

: 이동과 회전을 동시에 표현하는 방법

    -4*4 행렬을 가짐