Projective geometry

Projective geometry (사영 기하학)

 

3D Rigid Body Motion은 모두 유클리드 기하학을 따릅니다.

사영대수학은 기초적인 유클리드 기하학과는 달리 사영공간과 몇 가지 기본적인 기하학적인 개념들로 구성되어 있습니다.

실제 3D 공간에 물리적인 객체 정보를 2D 이미지로 투영하는 것이 projection입니다.

즉, projective geometry는  N + 1 차원을 N 차원으로 차원 축소를 할 때 통용되는 기하학입니다.

 

Hierachies of geometries

 

• Euclidean

    > Rotation + Translation 표현 가능

• Similarity

    > Euclidean transformation에서 uniform scaling 표현 가능

    > Euclidean transformation에서 length 정보 손실

• Affine

    > Similarity transformation에서 Non-uniform scaling + shear 표현 가능

    > Similarity transformation에서 Angle / Length-ratio 정보 소실

• Projective

    > Affine transformation에서 projection 표현 가능

    > Affine transformation에서 incidence, cross-ratio 정보 손실

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Homogeneous coordinates

: x라는 객체에 Homogeneous coordinates에 0이 아닌 어떤 스칼라값을 곱해도 coordinates는 같은 객체를 의미한다라고 합니다.

즉 x든, lambda * x든 x를 의미합니다.

 

Euclidean space에서 coordinate를 표현할 때 x, y 두 개만으로 표현했을 때는 cartesian coordinates라 하고,

 projective space 에서 coordinate를 표현할 때 x, y, 1 세 개로 표현하는 것을 homogeneous coordiates라 합니다.

 

수많은 projective space scales 속에서 scale값이 1인 경우의 공간을 Euclidean space라고 합니다.

즉, 2D Euclidean space는 2D projective space 하위 개념이라고 볼 수 있습니다.

 

그럼 2D Euclidean space 속 좌표를 2D projective space에서 어떻게 표현할까요?

Euclidean space에 projection을 하면 0차원 정보가 됩니다. 즉, 점(포인트)이 된 것입니다.

Euclidean space는 N차원의 공간이며 N은 0이고,

projective space는 항상 N + 1차원을 가지니까 1차원을 갖는다고 말할 수 있습니다.

즉 직선으로 표현할 수 있습니다.

 

O_3 (0,0,0)에서 lambda * e를 곱한 값은 Euclidean 좌표에 존재하는 객체를 가리키는데 이때 lambda에 어떤 숫자가 들어와도 같은 객체를 나타냅니다. 이게 원근법이죠!

 

Matrix는 어떻게 homogeneous coordinate로 변환할까요?

Matrix도 scale 정보를 추가하면 됩니다. 

 

SO(3)Matrix 같은 경우 가장 4*4 matrix의 오른쪽 아래에 1이라는 scale 정보가 있습니다.

1이라고 적혀있는 건 SO(3)matrix가 아직 Euclidean space에 있다는 것을 표현해주는 값입니다.

 

 SE(3) Matrix는 SO(3) Matrix와는 다르게 4*4가 아닌 3*4입니다.

또한 SE(3) Matrix는 Homogeous coordinate로 표현하는 것이 관행인데 위 사진에 나와있는 건

Homogeous coordinate로 표현은 되었지만 아직도 Euclidean coorndate 작업이기 때문에 0 값이 채워진 걸 알 수 있습니다. Homogeous coordinate 값이었다면 다른 값이 채워졌겠죠.

 

추가 학습 자료

https://www.youtube.com/watch?v=PvEl63t-opM 

http://www.yes24.com/Product/Goods/64454325

Photogrammetric Computer Vision: Statistics, Geometry, Orientation and Reconstruction - YES24