[선형대수학] 1강 - 행렬과 행렬식

이 글은 이상엽 선생님의 선형대수학 강의  TIL입니다. 유튜브 링크는 본문 하단에 게시하였습니다.

행렬과 행렬식

행렬이란?

• 정수의 순서쌍 집합에서 성분이 포함된 집합으로 가는 함수
• 직사각형 형태로 수가 배열된 것

역사적으로 본다면 행렬은 '연립일차방정식의 풀이를 어떻게 하면 될까?'라고 고민한 데서 시작했다고 합니다.

 

A라는 행렬이 있다고 가정하겠습니다.

$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{pmatrix}$

 

성분(항, 원소) : 행렬 안에 배열된 구성원 $a_{ij}$   (1, 2, 3, 4, 5, 6)

행: 행렬의 가로줄

열: 행렬의 세로줄

m * n 행렬: m개의 행과 n개의 열로 이루어진 행렬

 

 

즉 A는 이렇게도 표현 가능합니다.

 

$A = \begin{pmatrix}
a_{ij} & a_{ij} & a_{ij} \\
a_{ij} & a_{ij} & a_{ij} \\
\end{pmatrix}$

 

용어정리

■ 성분

: 행렬 안에 배열된 구성원(=항, =원소)

 

■ 주대각선

: 행렬의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래를 가르는 선

 

■ 대각성분

: 주대각선에 걸치는, 행과 열의 지표수가 같은 성분

 

■ 대각행렬

: 대각성분으로만 이루어진 행렬

ex) $\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3 \\
\end{pmatrix}$

 

■ 영행렬

: 모든 성분이 0인 행렬

행렬 A가 있을 때, $A-A=0$ 에서 0은 0행렬을 뜻함

 

■ 전치행렬

$a_{ij}$에 대하여 $a_{ji}$

ex) $\begin{pmatrix}
{\color{Red} 1} & 2 & 3 \\
4 & {\color{Red} 5} & 6 \\
\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}
{\color{Red} 1} & 4  \\
2 & {\color{Red} 5} \\
3 & 6 \\
\end{pmatrix}$

 

■ 대칭행렬

: $A = A^{T}$인 $A$

ex) $A = \begin{pmatrix}
1 & 2  \\
2 & 1 \\
\end{pmatrix} =  A^{T} = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 1 \\
\end{pmatrix}$

 

■ 정사각행렬

: 행, 열의 개수가 같은 행렬

 

■ 단위행렬

:모든 대각성분이 1이고, 그 외의 성분은 0인 정사각행렬

 

행렬의 연산

m * n 행렬 $A = (a_{ij}), B = (b_{ij})$에 대해

 

ex) $A = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{pmatrix}$

 

① 덧셈과 뺄셈

: $A \pm B = (a_{ij} \pm b_{ij})$

 

ex) $A + B = \begin{pmatrix}
2 & 2 \\
3 & 5 \\
\end{pmatrix}$, $A - B = \begin{pmatrix}
0 & -2 \\
-3 & -3 \\
\end{pmatrix}$

 

② 상수배

: 상수 $c$에 대해 $cA = (ca_{ij})$

 

ex) $2A = \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{pmatrix}$

 

③ 곱셈

: $AB = (c_{ik}) : m * r$ 행렬

단, $e_{ik} = \sum_{j = 1}^{n}a_{ij}b_{jk}$

※ 행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립되지 않는다.

 

ex) $A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \\
\end{pmatrix}$

 

1. $AB = \begin{pmatrix}
   {\color{Orange} 1} & {\color{Orange} 0} & {\color{Orange} 1} \\
   0 & 1 & 0 \\
   \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   {\color{Orange} 1} & 2 \\
   {\color{Orange} 3} & 4 \\
   {\color{Orange} 5} & 6 \\
   \end{pmatrix} \\ \rightarrow \begin{pmatrix}
   {\color{Orange} {1*1+0*3+1*5}} & \square \\
   \square & \square \\
   \end{pmatrix}$
   
   
   
2. $AB = \begin{pmatrix}
   {\color{Pink} 1} & {\color{Pink} 0} & {\color{Pink} 1} \\
   0 & 1 & 0 \\
   \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   1  & {\color{Pink} 2} \\
   3 & {\color{Pink} 4} \\
   5 & {\color{Pink} 6} \\
   \end{pmatrix} \\ \rightarrow \begin{pmatrix}
   {\color{Orange} {1*1+0*3+1*5}} & {\color{Pink} {1*2+0*4+1*6}}  \\
   \square & \square \\
   \end{pmatrix}$
   
   
   
3. $AB = \begin{pmatrix}
   1 & 0 & 1 \\
   {\color{Red} 0} & {\color{Red} 1} & {\color{Red} 0} \\
   \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   {\color{Red} 1} & 2 \\
   {\color{Red} 3} & 4 \\
   {\color{Red} 5} & 6 \\
   \end{pmatrix}\\ \rightarrow \begin{pmatrix}
   {\color{Orange} {1*1+0*3+1*5}} & {\color{Pink} {1*2+0*4+1*6}}  \\
   {\color{Red} {0*1+1*3+0*5}} & \square \\
   \end{pmatrix}$
   
   
   
4. $AB = \begin{pmatrix}
   1 & 0 & 1 \\
   {\color{Green} 0} & {\color{Green} 1} & {\color{Green} 0} \\
   \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
   1 & {\color{Green} 2} \\
   3 & {\color{Green} 4} \\
   5 & {\color{Green} 6} \\
   \end{pmatrix} \\ \rightarrow \begin{pmatrix} \\
   {\color{Orange} {1*1+0*3+1*5}} & {\color{Pink} {1*2+0*4+1*6}}  \\
   {\color{Red} {0*1+1*3+0*5}} & {\color{Green} {0*2+1*4+0*6}} \\
   \end{pmatrix}$

$ \therefore AB= \begin{pmatrix}
6 & 8 \\
3 & 4 \\
\end{pmatrix}$

 

연립일차방정식

(1) 행렬의 표현

 

ex) $ \left\{\begin{matrix}
x + 2y = 5 \\ 2x + 3y = 8
\end{matrix}\right.$

 

① 가우스 조던 소거법

$\to \begin{pmatrix}
1 & 2 & 5 \\
2 & 3 & 8 \\
\end{pmatrix}$ : 첨가행렬

:다음 세 가지의 기본 행 연산을 통해 연립일차방정식의 첨가행렬을 기약 행 사다리꼴로 변환하여 해를 구한다.

    1. 한 행을 상수배한다.

    2. 한 행을 상수배하여 다른 행에 더한다.

    3. 두 행을 맞바꾼다.

 

 

② 역행렬 이용

 

$\to \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 3 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\ 8
\end{pmatrix}$

 

$\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 3 \\
\end{pmatrix}$: 계수행렬 , $\begin{pmatrix}
5 \\ 8
\end{pmatrix}$ : 상수행렬

 

: 연립일차방정식 $AX = B$에서 $A$의 역행렬 $A^{-1}$가 존재한다면, $X = A^{-1}B$이다.

 

ex) $ \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 3 \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\ 8
\end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 3 \\
\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}
5 \\ 8
\end{pmatrix}$

 

1. 역행렬 존재하는지 안존재하는지 어떻게 파악할 것인지

2. 역행렬 연산 방법

 

행렬식

(1) 행렬식이란?

: 정사각행렬 $A$를 하나의 수로써 대응시키는 특별한 함수. $detA = \left|A\right|$ ($det$ : determinant의 약자로 A의 행렬식이라표현)

이때, $A$가

1) $0*0 \Rightarrow det( )=0$

2) $1*1 \Rightarrow det(a) = a$

3) $2*2 \Rightarrow det \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12}  \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{pmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ 

4) $3*3 \Rightarrow$

$det\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix} \\ \\
= a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13} \\
= a_{11} \left | \begin{pmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix} \right | -a_{12} \left | \begin{pmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33} \\
\end{pmatrix} \right | +a_{13} \left | \begin{pmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32} \\
\end{pmatrix} \right | \\
= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

-> 부호가 교체되며 행과 열 모두 기준이 될 수 있습니다.

$M_{11}$은 1행 1열을 제외한 나머지 원소를 뜻합니다.)

 

5) $4*4 \Rightarrow detA = a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}-a_{14}M_{14}$ 

 

 (2) 역행렬

:행렬식이 0이면 역행렬이 존재하지 않는다. 즉. 행렬식이 0이 아닌 정사각행렬 $A$의 역행렬 $A^{-1}$은

$\frac{1}{detA}\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{21} & \cdots  \\
C_{12} & C_{22} & \cdots  \\
\vdots  & \vdots  & \ddots  \\
\end{pmatrix}$

(단, $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij})$

 

ex) $\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a \\
\end{pmatrix}$

 

-> $\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{pmatrix}^{-1} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
4 & -2 \\
-3 & 1 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-2 & 1 \\
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\
\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{pmatrix} \circledcirc \begin{pmatrix}
-2 & 1 \\
\frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}$ 이므로 역행렬인 것을 알 수 있습니다.

 

(3) 크래머 공식

: 연립일차방정식 $AX=B$에서, $A$가 행렬식이 0이 아닌 정사각행렬일 때,

$x_{j}=\frac{detA_{j}}{detA}=\frac{\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & b_{1} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & b_{2} & \cdots  & a_{2n} \\
\vdots  &  & \vdots &  & \vdots \\
a_{n1} & \cdots  & b_{n} & \cdots  & a_{nn} \\
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2j} & \cdots  & a_{2n} \\
\vdots  &  & \vdots &  & \vdots \\
a_{n1} & \cdots  & a_{nj} & \cdots  & a_{nn} \\
\end{vmatrix}}$

 

(단, $j=1, \cdots, n$이고, $A_{j}$는 $A$의 j번째 열을 $B$의 i번째 열로 바꾼 행렬이다.

 

 

 

 

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